第六章 线性空间与线性变换

一、基础知识

线性空间的定义

数环：设R是一个非空数集，其中任何两个数的和、差、积仍然属于R，那么R是一个数环（例如整数集、偶数集）

数域：R在数环的基础上如果两个数的商也是属于R，那么R就是数域

线性空间：设V是一个非空集合，K是一个数域，然后需要满足以下条件：
1、V中定义了一个封闭的加法运算，并且满足：（假设x和y是V中的元素）

• 对加法封闭（z=x+y，则z仍然属于V）
• 交换律（x+y=y+x）
• 结合律（(x+y)+z = x+(y+z)）
• 存在零元素（存在一个0，对于任意x，x+0=x）
• 存在负元素（对每个x都有y，使得x+y=0）

2、V中定义了一个封闭的乘法运算，并且满足：（假设x和y是V中的元素，a和b是K中的元素）

• 对数乘封闭：（z=ax，那么z仍然属于V）
• 分配律（(a+b)x = ax+bx）
• 数因子分配律（a(x+y) = ax+ay）
• 结合律（a(bx) = (ab)x）
• 1 × x = x（1是数域k中的单位数）

那么V就是线性空间。证明线性空间时就可以依次对以上十点检查。（注意容易忽略的两点是证明加法和乘法的封闭性）

如果K是实数域，那么V是实线性空间；如果K是复数域，那么V是复线性空间（注意：这里是与K有关而不是V，就算V中出现了虚数，只要K还是实数，那么依然是实线性空间）

线性空间也被称为向量空间，线性空间中的每个元素也被称为向量

线性空间的性质：

• 零元素唯一
• 负元素唯一
• 设 0 , 1 , -1 , λ∈K , x , -x , 0∈V，则有：0x=0、(-1)x=-x、λ0=0、若λx=0，则λ=0或x=0

线性空间中向量的线性相关与线性无关与第二章的定义一致

线性空间的基、维数与坐标

线性空间的维数：

• 假如V中的向量$\alpha_1,...\alpha_n$线性无关，并且V中所有向量都可以用它们表示，那么V的维数就是n，并且这些向量就是V的一组基

• 有限维线性空间就是可以找到有限数量的基；无限维线性空间可以找到任意多个属于V的线性无关的向量

向量在某个基下的坐标就代表这个向量可以用这些基的线性组合表示，并且每个基向量的个数就是坐标对应的位的数。

基底变换与坐标变换：

• 基底变换：假如$(\alpha_1,...\alpha_n)$和$(\beta_1,...\beta_n)$是同一个线性空间的不同基，可以表示为$(\beta_1,...\beta_n) = (\alpha_1,...\alpha_n)P$的形式，就是基底变换，P为从α到β的过渡矩阵
• 坐标变换：假如$(x_1,...x_n)$和$(y_1,...y_n)$是同一个线性空间的不同基下的坐标，假如两个基的过渡矩阵是P，那么就可以表示为：$\begin{pmatrix} y_1 \\ ...\\ y_n \end{pmatrix} = P^{-1}\begin{pmatrix} x_1 \\ ...\\ x_n \end{pmatrix}$
  注意这里左乘的是P逆而不是P。

这也可以看成$y = P^{-1}x$，或者$x=Py$

数域上的线性空间$V(K)$与$K^n$的对应关系：

线性空间的子空间

子空间的证明：如果W是线性空间V的一个非空子集，并且对于x、y∈W，a、b属于K，ax+by∈W，那么W就是一个子空间。

假设子空间是由$\alpha_1,\alpha_2...\alpha_n$的组合组成的，就可以写成$span\{\alpha_1,\alpha_2...\alpha_n\}$

如果子空间只有零向量，则为零子空间；如果子空间就是原来的线性空间本身就是平凡子空间；否则就是非平凡子空间或真子空间

子空间的交与和：

• 子空间的交：W1∩W2 ，即为同时属于W1和W2的向量空间
• 子空间的和：W1+W2，即为可以用W1和W2的向量组合而成的向量空间（与子空间的并不一样）

V的两个子空间的交与和仍然是V的子空间，并且子空间的交与和满足交换律和结合律

若W1, W2是线性空间V的两个有限维子空间，则dimW1+dimW2=dim(W1+W2)+dim(W1∩W2)

W1+W2是直和有以下充要条件：

• W1∩W2 = {0}
• dim(W1+W2) = dim(W1)+dim(W2)

线性变换

线性变换T：Tα = α’，其中α是V1中的元素，经过线性变换后变成了V2中的元素α’。

• 线性映射：T(α+β) = Tα+Tβ，并且T(λα)=λTα（综合起来也就是T(λα+μβ)=λTα+μTβ）
• 如果V1=V2=V，那么就是V上的线性变换

线性映射T的几个性质：

像空间：Im(T)，表示从V1映射过去的所有元素的集合，可以理解为值域
核空间：ker(T)，表示V1中映射过去会变成0的元素

线性变换的矩阵表示：假设$(\epsilon_1,...,\epsilon_n)$是一组基，那么$T(\epsilon_1,...,\epsilon_n) = (\epsilon_1,...,\epsilon_n)A$，A就是T在基$(\epsilon_1,...,\epsilon_n)$下的矩阵

总之一个线性变换T就可以用矩阵A表示

换成坐标的话，如果一个坐标为x的矩阵经过线性变换T，那么后来它的坐标y就等于Ax，即左乘一个T的矩阵A。

在不同基底下：假如从基$\alpha_1...\alpha_n$到$\beta_1...\beta_n$的过渡矩阵是P，然后线性变换T在基$\alpha_1...\alpha_n$上的矩阵是A，那么T在B上的矩阵就是$P^{-1}AP$

二、实用技巧

• 如果题目让你求一个基到另一个基的过渡矩阵，并且给出了基之间的关系的三个式子，比如$\alpha_1+2\alpha_2+3\beta_1+4\beta_2 = 0$这种的，你可以将β单独放到等式的一边，写成$\alpha_1+2\alpha_2 = -3\beta_1-4\beta_2$，然后两边就可以用基的线性组合表示了，写成$(\alpha_1,\alpha_2)\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = (\beta_1,\beta_2)\begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix}$，然后再多凑几个这样的式子，就可以写成$(\alpha_1,\alpha_2)A = (\beta_1,\beta_2)B$的形式，然后把方阵弄到一边就出来了。

• 有的时候我们并不急着把过渡矩阵P求出来，而是等到最后需要计算结果的时候（例如求另一个基下的坐标）再把P代入，这样有时可以省去许多计算过程。

• 如果要证明一个和是直和，我们通常可以通过证明两个集合的交为0来处理

• 如果要证明一个线性空间可以表示成两个子空间的直和，可以分为两步：第一步首先要证明是直和，第二步要做的就是把线性空间中的任一向量x表示为两个线性空间中的向量之和，即找出x=x1+x2，然后满足x1属于W1，x2属于W2

• 如果已知两个子空间的基分别为$(\alpha_1...\alpha_m)$，和$(\beta_1...\beta_n)$，那么两个子空间的交的基就是方程组$t_1\alpha_1+...+t_m\alpha_m = t_{m+1}\beta_1+...+t_{m+n}\beta_n$的基础解系；两个子空间的和的基就是$(\alpha_1...\alpha_m,\beta_1...\beta_n)$的极大无关组