浮点数运算

浮点数加减法

步骤：

  • 检查0：运算双方是否有一方等于0？
  • 对齐有效值：阶码向大阶对齐，也就是需要将阶码小的那个数的阶码增加m位，直到与阶码大的数的阶码相同。每次阶码+1就要把尾数右移1位。
  • 加或减有效值：进行尾数的运算。需要带上原来的隐藏位
  • 规格化结果：最后得出的结果需要转变为规格化数的形式。如果小于1就要左归（尾数左移，阶码减少）；大于等于2就要右规（尾数右移，阶码增加）

乘法和除法

计算步骤：

  • 检查0：运算双方是否有0存在？需要针对不同情况进行不同处理
  • 阶码相加减：两个数的乘除就相当于对阶码相加减。注意：使用移码进行阶码的加减时需要额外加减一次偏置常数，如果是乘法，最后需要减去偏置常数127；如果是除法则加上127。
  • 尾数相乘除：把尾数看出整数，执行整数的乘除，结果也用整数表示
  • 规格化结果：和加减法一样，将结果表示为规格化数的形式。

溢出

阶码操作过程中可能会发生溢出：

  • 上溢：超过11111110（127）
  • 下溢：小于00000001（-126）

有效值可能也会发生溢出：

  • 上溢：两个数相加可能导致最高位的进位。一般可以右移重新对其
  • 下溢：最右端数字在对其过程中被移出，此时需要某种形式的四舍五入（右规）操作

IEEE754中的五种异常

  • 无效运算：结果为NaN，一般为负无穷加正无穷、0/0等等
  • 有限值除以0：正负无穷大

加法

减法示例：

首先确定两个阶码的差值，为1，所以需要对-0.4375的尾数右移，变为了0 1110…0，注意前面的隐藏位变为了0.

然后就对阶码进行相加（负负得正，变为了加法），得到最后的结果。省去一个隐藏位，就得到了结果。

示例2：

这里加一个负数。还是先确定阶码的差值，为1，把-0.4375的尾数右移1位。由于它是一个负数，执行尾数相加的时候需要加尾数的相反数（所有的位取反+1）.

乘法

阶码相加，尾数相乘。在尾数相乘的时候都要带上隐藏位。然后乘完以后还需要根据乘积的高两位做出不同的处理。如果高两位为01则无需处理；为10或11就右规一位（不处理00是因为IEEE 754标准中，只有右规）

符号位就是两个符号位的异或，尾数高两位判断时01因此不需要操作，直接取高两位之后的23为写入尾数中，舍去乘积最后的23个0

除法

与乘法相似，先判断除数和被除数的特殊值，然后阶码相减，尾数相除，对最后结果的高两位判断，如果为01则左归一位，为10或11则无需处理

示例：

精度考虑

舍入位

为了确保结果的精确度，需要在中间结果的尾数中都使用附加位。

  • 保护位：在尾数右边的位，左归时被移到尾数中
  • 舍入位：在保护位右边的位，作为舍入的依据

舍入：

  • 就近舍入（默认方式）：结果被舍入成最近的可表示的数（非中间值：0舍1入；中间值：强制结果为偶数）
  • 朝+∞舍入：结果果朝正无穷大方向向上舍入
  • 朝-∞舍入：结果果朝负无穷大方向向上舍入
  • 朝 0 舍入：结果朝 0 舍入，

数据类型：

  • int：整数，范围为-2147483648到2147483647
  • float：单精度浮点数，1+8+23
  • double：双精度浮点数，1+11+52

其中，int变成float、float变成int都会失去精度，而double可以完整的表示所有的int和float值。

牢记IEEE754不完美

  • 尽量简化运算步骤
  • 低精度和一个高精度在运算时，低精度的数变成了高精度(补0)
  • 运算后注意舍入
  • 运算时，警惕二进制不能精确表示的数
  • 运算时，警惕2k2^k