数据的机器级表示

在冯诺依曼结构中，所有信息都采用二进制编码

  • 编码：用少量简单的基本符号对复杂多样的信息进行一定规律的组合

采用二进制的原因：

  • 制造两个稳态的物理器件容易
  • 二进制编码、计数运算规则简单
  • 对应逻辑命题中的“真”和“假”
  • 便于使用逻辑电路实现算术运算

K位的二进制编码至多表示2k2^k个不同的值

整数的二进制表示

  • 无符号整数
  • 有符号整数：原码，反码，移码，补码

计算中通常使用补码

原码表示：即直接转化为二进制，第一位表示符号位（0正1负），其余位则表示数值大小。

  • 优点：最直接
  • 缺点：0的表示不唯一；加减运算方式不统一，需要对符号位额外处理，不利于硬件设计

补码表示

在一个模运算系统中，一个数与他除以“模”后的余数等价

比如：时钟要从10点拨向6点，既可以逆时针拨4格，也可以顺时针拨8格（10-4=6，同时10+8=18，18模12也为6）

加减的统一：一个负数的补码即为模减去该负数的绝对值，所以一个数减去一个数即为这个数加上这个数的相反数的补码

8位二进制表示：0111 1111 – 0100 0000 = 0111 1111 + (1 0000 0000 – 0100 0000)= 0111 1111 + 1100 0000 == 1 0011 1111 (mod 1 0000 0000)= 0011 1111
（只留余数）

补码的定义：[x]c=(2n+X)mod2n(−2n≤X≤2n)[x]_c = (2^n+X)mod 2^n (-2^n \leq X \leq 2^n)，补码就是一个数加上一个模，然后再总体取这个模的余数

  • 一个二进制数为正数时，补码就是原码；为负数时，补码就是这个数符号位不变，其余位取反+1

补码的优势：补码两个数无论同号还是异号都可以直接相加

移码表示

移码就是将每一个数加上一个偏执常数（bias）

  • 通常当编码位为n时，偏置常数取2n−12^{n-1}或2n−1−12^{n-1}-1（注意：补码一般在浮点数的阶码部分中使用，在IEEE754中使用的是2n−1−12^{n-1}-1，即127）

  • 此外，全为负数时，移码比原码更容易比较（例如假如有三位，111表示-1，110表示-2，光从数值只能看出111大于110。但是使用移码后双方分别就可以表示为010和001，就可以从移码得到前者大于后者，这也是这两个负数实际的大小情况。）

以八位为例，真值的表示范围：

  • 无符号： 0~255（0 2𝑘−10~2^𝑘−1）
  • 原码： -127~127（−2𝑘−1+1 2𝑘−1−1−2^{𝑘−1}+1~2^{𝑘−1} − 1）
  • 移码： -127~128 （-2{k-1}+1~2{k-1}）
  • 补码： -128127（-2^{k-1}2^{k-1}-1）

浮点数的二进制表示

对比十进制的科学计数法和二进制的科学计数法：

十进制科学计数法：

二进制科学计数法：

规格化数

可以表示为±1.𝑏𝑏𝑏…𝑏×2E±1. 𝑏𝑏𝑏 … 𝑏 × 2^E的形式

一般的浮点数分为3个部分：符号位、阶码和尾数

其中，数X就可以表示为(−1)S×M×2E(-1)^S \times M \times 2^E

  • E使用是移码，偏置常数通常为127（能够表示指数小于0的数）
  • M为原码（无符号原码乘法运算简单）

IEEE754标准

定义了32位单精度和64位双精度浮点数两种格式

以单精度浮点数为例

  • 如果上面的浮点数表示中的S为1表示负；为0表示正
  • E：全0表示非规格化数；全1表示无穷或非数值NaN；正常情况下范围是00000001（-126）-11111110（127）
  • M：最高位有一个隐藏的1，所以假如M的前三位是456，那么表示的就是1.456

阶码为不同情况下的表示：

非规格化数下，阶码始终为-126，尾数部分最前面的隐藏的1也变成了0，所以非规格化数可以表示为(−1)s×0.bbb...×2−126(-1)^s \times 0.bbb... \times 2^{-126}

表示浮点数时，如果精度不管怎么办？可以使用舍入原则（根据最后的位数决定最后将最后几位舍去后剩下的值，而不是直接舍去）

二进制编码的十进制表示

浮点运算的问题

  • 精度限制
  • 转换成本高

解决方法：用4位二进制编码十进制（BCD）表示0, 1, …, 9，直接计算

BCD码：使用四位二进制数表示1位十进制数。

自然BCD码（NBCD，8421码）

  • 0到9分别使用0000到1001表示
  • 最前面四位表示符号，1100为正，1101为负

例如：-1265就可以表示为 1101 0001 0010 0110 0101

非数值数据的编码表示

  • 逻辑值：和数值数据在形式上没有差异，指令的操作码就是一种逻辑值，用来识别运算类型
  • 西文字符：有多种不同的字符集，最广泛使用的是ASCII码
  • 汉字字符：一个字就是一个方块原型，至少16位（超过了6万个字符）
  • 多媒体信息（图像、音频等）同样使用0和1表示