第五章实二次型

一、基础知识

二次曲线方程：
$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0$

可以表示成：

$(x,y,1)\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{32}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ 1 \end{pmatrix}$

左边的向量记为x，中间的矩阵记为A，就可以表示程 $x^TAx$ ,就是二次型的矩阵表示。

A：二次型的矩阵，A的秩：二次型的秩

对于这个二次型的式子： $a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}$ ，如果把式子中a的下标看成是元素在矩阵中位置的下标，就可以把这个式子的系数写成这个样子：

$\begin{pmatrix} a_{11}&2a_{12}&2a_{13}\\ 0&a_{22}&2a_{32}\\ 0&0&a_{33} \end{pmatrix}$

由于二次型的式子中没有下标为21、31、32的元素，因此这个矩阵中的左下角的三个元素没有定义。我们也可以定义这几个元素。只需要定义 $a_{ij}=a_{ji}$ ，那么就可以将左上角几个系数为2的元素，比如 $2a_{12}$ ，拆成左上角和对称的右下角的元素之和，比如这里就可以拆成 $a_{12}+a_{21}$ 。这样做不仅让系数能够均匀，也可以利用整个矩阵的所有元素。就可以将A改写成：

$\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{32}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{pmatrix}$ 的形式了

线性变换：

注意这个变换是从x到y，不是从y到x，也就是把x表示成y的线性组合。

这个式子也可用矩阵表示：
$\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{11}&c_{12}&c_{13}\\ c_{12}&c_{22}&c_{32}\\ c_{13}&c_{23}&c_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3 \end{pmatrix}$

相当于y左乘一个系数矩阵，进行了线性组合。每个x对应的y的式子前的系数就是系数矩阵每个行向量。一般正交变换法得出的矩阵都是需要取行向量的。

注意：这里是把向量竖着写来表示，如果横着写了就会导致系数矩阵变成原来的转置（如果这样子的话，每个x对应的y的多项式的系数就是系数矩阵的每个列向量）。

合同变换

A、B是同阶方阵。如果有可逆矩阵P，使得 $B = P^TAP$ ，那么A合同于B，并且B是A的合同矩阵。P为合同变换矩阵。

注意：相似矩阵要求的是 $B = P^{-1}AP$ ，而合同矩阵是 $B = P^TAP$ ，前者是逆，后者是转置。两者只有在A为正交矩阵的时候是相同的。

二次型的简化

三个方法：

正交变换法：解特征方程，和求相似矩阵类似的过程
配方法：寻找二次项，将其连带与之相关的交叉项配成平方项，来消去交叉项。没有交叉项就使用平方差公式配出平方项

注意：把交叉项放进括号中的时候不仅要把系数除以平方项前面的系数，还要接着除以2；在配成平方项之后不仅要减去所有添加的平方项，还必须减去里面产生的交叉项，并且减的时候要注意乘以括号外面的系数】

注意配方和正交变换的一些差别：正交变换需要最后设为x=a1y1+a2y2+…的形式，而配方法一般是y=a1x1+a2x2+…的形式

合同变换法：将矩阵A排列成 $\begin{pmatrix} A\\ E \end{pmatrix}$ 的形式，然后利用与初等变换法相似的方法将矩阵A的部分化为单位阵E，只不过每次进行初等列变换之后需要立即做一次相同的初等行变换。之后E所对应的矩阵P就是线性变换的矩阵（也就是利用第一种正交变换法在解完方程后用单位特征向量组成的矩阵）。

规范型

惯性定理说明了实二次型可以化为实规范型。（例如在合同变换中，化为标准型之后我们只需要对每个元素不为1的列除以这个不为1或-1的元素的平方根，然后这样每个元素就可以变为1或-1）

正惯性指数：正特征值个数（化为标准型后对角线元素为正的个数）；负惯性指数：负特征值个数（化为标准型后对角线元素为负的个数）

其实，求正惯性指数和负惯性指数时，只需要将矩阵化为标准型，就可以进行正负元素个数的判断，而不需要完全知道

正定二次型

对所有 $x \neq \theta$ ， $f(x) = x^TAx > 0$ ，则f(x)为正定二次型。

正定矩阵的正惯性指数为阶数

证明某个矩阵是抽象矩阵，可以使用定义，设x向量，化简 $x^TAx$ ，说明最后的式子一定大于0即可。

主子式：矩阵任选k个行与与之相对应的列构成的矩阵为k阶主子式

顺序主子式：必须是矩阵左上角的k行和k列

正定矩阵的判定

半正定矩阵的判定

二、实用技巧

三种用于二次型的简化的方法中个人认为合同变换法是最简单的方法。

注意： 合同变换法由于在一次行列变换后，式子肯定还是一个对称矩阵。因此我们可以利用这一点了来简化运算。在变换时，我们只需要计算对角线上和其上方的元素，然后对角线下方的元素都可以直接通过对称的方法照抄。通常使用这种方法时可以一列一列写元素，第一列只写一个元素，第二列写两个元素，以此类推。并且通常我们都是先用第一列去加每个其他列，再用第二列去加345…列，而不要从中间开始加。也就是说，正常操作完成后，下方的原来是单位矩阵的那个矩阵现在它的对角线下侧的所有元素仍然是零。
想要证明某个抽象矩阵是正定矩阵，我们通常也可以用定义来证明，即证明对于任意x， $x^TAx > 0$ 。如果已知某个矩阵是对称正定矩阵，我们就可以尝试选择一些x，使得这些x代入式子后仍然大于0，通过这种方式来证明一些其他结论。通常可以选择单位矩阵。选择单位矩阵时可以将整个式子转换为正定矩阵每一个对角元素。
证明某个矩阵是正定二次型时需要注意这里条件的 $x \neq 0$ ，需要对给的x进行讨论。如果有时候x可以看成两个向量的组合时，例如看成 $\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$ 时，我们只需要确保 $\alpha$ 和 $\beta$ 中有一个不为 $\theta$ 即可。
二次型除了表示为展开式的形式，有一种矩阵的形式也是二次型，就是 $(x_1,x_2...x_n)A(x_1,x_2...x_n)^T$ ，如果A是一个实对称矩阵，那么整个式子就是一个二次型，其中A的第(i,j)个元素就是 $x_ix_j$ 前面的系数的一半
当想要对一个带参数的二次型使用合同变换法对角化时，如果参数位于整个矩阵的左上方，你可以使用一次行列交换的合同变换来将其交换到矩阵的最右下角，就会简化操作。
注意：实对称矩阵对角化的方式可以用于二次型的化简，但是二次型化简的另外两个方法（配方法和合同变换法）是不能用于实对称矩阵的对角化的，因为配方法和合同变换法产生的矩阵不是正交矩阵，同时也会改变掉矩阵的特征值。
合同变换法不会改变的是：矩阵的秩、矩阵的正定性（正负特征值个数）。如果没有使用数乘变换，那么合同变换法也不会改变矩阵的行列式（这个前提必须有）
一般正定矩阵都是对称正定矩阵，并且所有的正定矩阵都合同与单位矩阵E，因此可以表示为 $D^TED = D^TD$ 。
想要证明一个矩阵是正定矩阵，可以考虑证明它相似于一个正定矩阵（相似不改变矩阵的秩，也就不会改变正定性）。
如果一个分块矩阵也是对称的，那么你也可以考虑用矩阵的合同变换将其化为一个对角矩阵（注意这里合同变换还是得写成和另一个矩阵相乘的形式），然后就可以考虑对角线每个矩阵的正定性。
合同变换时，也可以不从左上角开始化简，可以从右下角开始化简，即先让第二行减去或加上第三行，然后再用第一行减去或加上第二行，如果这样做更方便的话。

第五章 实二次型