第三章线性方程组解的结构

一、基础知识

Ax=b中，A为系数矩阵，x为未知向量，b为右端向量

增广矩阵：系数矩阵加上右端向量

同解方程组：具有相同解集的两个方程组为同解方程组

解方程：对增广矩阵进行初等行变换，化成行简化梯形矩阵

方程组有非零解：|A|=0

重要推论：若 $A \in R^{m\times n}$ ，则 $r(A)+r(N(A))=n$ ，其中N(A)表示Ax=θ的基础解系为列构成的矩阵

这个结论经常在求某个方程组的基础解系的时候会被使用，它可以确定基础解系的向量个数，然后只要我找到对应数量的属于这个方程的解的向量，就可以说明它们就是方程组的基础解系。有时候也可以根据基础解析的数量反推系数矩阵的秩。

如果发现一个矩阵的下面一行是上面一行共同乘以某个数或矩阵得到的，那么你可以在左边乘以一个向量，向量的第一个元素是原来矩阵从上面变成下面左乘的内容，第二个元素是1，那么这样得到的结果矩阵的元素的最后一行就会变成0
证明一个矩阵的行列式不为0，就是在证明这个矩阵可逆，就可以用方程组只有零解的方法来做。这种方法适用于一个比较复杂的矩阵，或是矩阵的向量间关系几乎没有。

求基础解系可以使用一个技巧：解答阵。

将矩阵化成行简化梯形后，可以在草稿纸上做两件事情：

将非零行去掉
在矩阵中间穿插添加几行，使得这个矩阵变成一个方阵，并且添加的每一行中的元素只有一个-1和n-1个0，使得整个方阵：对角线上的元素只能由原来方阵的每行的首个非零元（1）以及新增加的行上面的唯一一个元素-1构成。最后方阵的形状就如上图所示。

这个时候，方程的基础解系的每个向量就是每一个新增加的行上的-1所在的列，最好每列能够整体取反。比如上图中的基础解系的向量就是(1,0,0,0,0)和(0,-3,1,0,0)和(0,1,0,0,1)

对于非齐次线性方程组，也可以使用解答阵，只需要在矩阵中带上最后一列。所得特解就是最后一列本身。

一般来说两个矩阵的组合是竖着排列的，如
$\begin{pmatrix} A \\ C \end{pmatrix}$ ，如果题目将矩阵横着排列，你可以试试使用转置将矩阵竖着放置，然后去解。

题目给你一个向量组的基础解系，让你求另一个向量组的基础解系，通常的做法都是先求出第二个向量组的基础解系的向量个数，然后根据定义直接找到这些向量构成的矩阵，然后证明每一个向量之间都线性无关，就可以解决。
寻找某个分块矩阵的方程组的解的方法，例如想要寻找 $\begin{pmatrix} A&C \end{pmatrix}x=0$ 的解，如果已知 $Ax=\theta$ 的一个基础解系向量有 $\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n$ ，那么你可以构造向量为 $\begin{pmatrix} \alpha \\ \theta \end{pmatrix}$ ，这样使得上面和下面都变成了θ。另一种办法是假如知道方程组的某个关系，例如C=AB之类的，那么就可以构造 $\begin{pmatrix} -B \\ E \end{pmatrix}$ ，也可以让上下两倍抵消掉。
如果想要构造一个以 $\alpha_1,\alpha_2...\alpha_n$ 为基础解析的系数矩阵，可以先将所有基础解系向量（行向量）组成一个矩阵B，然后去算 $B^TY=0$ 的基础解系，假设为 $\beta_1,\beta_2,...\beta_n$ ，那么把这些基础解析组成的向构成C， $C=(\beta_1,\beta_2,...\beta_n)$ ，因此得到 $B^TC=0$ 。对这个矩阵求个转置就可以得到 $C^TB=0$ ，这个时候就可以求出矩阵A就可以取 $C^T$ 。

简单来说就是先把解向量自己的转置当成系数矩阵来算自己的基础解系，然后再把基础解系求转置就行。

如果题目给出两个方程(如 $Ax=\theta$ 和 $Bx=\theta$ )是同解方程组，我们一般可以处理成： $Ax=\theta$ 和 $\begin{pmatrix} A\\ B \end{pmatrix}x=0$ 是同解方程组，从而可以得到它们的基础解系相同，因此基础解系向量个数也相同，因此 $A$ 和 $\begin{pmatrix} A\\ B \end{pmatrix}$ 的秩也相同。同时也可以得到A与B的行向量等价。这样的话我们就可以将B表示为PA的形式，即B是A的行向量的线性组合。
如果要证明两个矩阵的秩相同，并且这两个矩阵互相之间有一些关系（比如说一个矩阵是另一个矩阵乘以第三个矩阵得到的），那么就可以考虑证明以它们为稀疏矩阵的两个齐次方程组同解。
如果想要证明两个方程组是同解方程组，你可以考虑证明其中一个方程组的解必然是另一个方程组的解，然后再证明这两个方程组的基础解系个数相同。
如果想要证明 $Ax = \theta$ 和 $A^TAx = \theta$ 同解，前推后很容易，后推前只需要在等式左边乘以一个 $x^T$ ，得到 $x^TA^TAx = \theta$ ，即 $(Ax)^T(Ax) = \theta$ ，相当于Ax的内积为0，因此Ax就等于θ，所以同解
一般情况下，如果想要Ax=0的基础解系向量个数为n，那么只可能是当A为零矩阵的时候。但是A大部分情况下都不为0矩阵。